Matriks

1. Definisi

Matriks adalah bilangan-bilangan atau angka-angka yang disusun berdasarkan baris dan kolom. banyak baris dan kolom dinamakan ordo.

Contoh:

$A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}$

Ordo matrik A adalah 2 x 2

2. Jenis-jenis Matriks

a. Matriks transpose 

Matriks yang elemen baris menjadi kolom dan sebaliknya. 

Contoh :

Misalkan $A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ maka $A^{T}=\begin{pmatrix}a & c\\ b & d\end{pmatrix}$

b. Matriks singular

Matriks yang nilai determinannya sama dengan nol. 

c. Matriks identitas 

Matriks identitas adalah matriks bujur sangkar yang diagonalnya bernilai 1 dan yang lain bernilai nol. 

Contoh:

$I=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$; $ I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

3. Kesamaan Matriks 

Dua buah matriks atau lebih dikatakan sama apabila nilai dari elemen-elemen yang seletak bernilai sama dan matriks tersebut harus berordo sama 

4. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat: ordo sama

$\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix}e & f\\ g & h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\pm e  & b\pm f\\ c\pm g & d \pm h\end{pmatrix}$

5. Perkalian Skalar dengan Matriks

$k\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ka & kb\\ kc & kd\end{pmatrix}$

6. Perkalian Dua Matriks 

Dua buah matriks dapat dikalikan apabila matriks pertama memiliki jumlah kolom sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. 

Misalkan:

$A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}$ maka:

$AB=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap+br & cp+dr\\ aq+bs & cq+ds\end{pmatrix}$

7. Determinan (det) 

a. Matriks ordo 2x2 

Misalkan $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 3\end{pmatrix}$; $det A = ad-bc$

b. Matriks ordo 3 x 3

Misalkan $A=\begin{pmatrix}a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}$

$det A = a.e.i + b.f.g + c.d.h-(c.e.g + a.f.h + b.d.i) $

8. Persamaan Matriks 

Misalkan persamaan matriks: AB = C, maka:

a. $A=CB^{-1}$

b. $B=A^{-1}C$

Read More

LOGIKA MATEMATIKA

A. OPERASI LOGIKA

Misal:

p: hari ini hujan

q: siswa hadir ke sekolah

1. Disjungsi

$p\vee q:$ p atau q

$p\vee q:$ hari ini hujan atau siswa hadir ke sekolah

2. Konjungsi

$p\wedge q:$ p dan q

$p\wedge q:$ hari ini hujan dan siswa hadir ke sekolah

3. Implikasi

$\Rightarrow  q:$ jika p maka q

$\Rightarrow  q:$ jika hari ini hujan maka siswa hadir ke sekolah

4. Biimplikasi

$p\Leftrightarrow q:$ p jika dan hanya jika q

$p\Leftrightarrow q:$ hari ini hujan jika dan hanya jika siswa hadir ke sekolah

5. Negasi

$\sim p:$ negasi p/ ingkaran p/ bukan p/ tidak p

$\sim p:$ hari ini tidak hujan

$\sim \left (\sim p  \right )=p$

B. KUANTOR

🕀$\exists:$ ada, beberapa

🕀$\forall:$ untuk setiap, untuk semua

C. NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK

\begin{array}{rcl} \sim \left ( \forall p \right )&\equiv& \exists \left ( \sim p \right )\\ \sim \left (\exists p \right )&\equiv& \forall \left ( \sim p \right )\\ \sim \left ( p\vee  q\right )&\equiv& \sim p\wedge \sim q\\ \sim \left ( p\wedge  q\right )&\equiv& \sim p\vee \sim q\\ \sim\left (p\Rightarrow q  \right )&\equiv&\sim \left ( \sim p\vee q \right )\equiv p\wedge \sim q\end{array}

D. IMPLIKASI, KONVERSE, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Dari suatu implikasi $p\Rightarrow q$, diperoleh:

1. $q\Rightarrow p:$ konvers dari $p\Rightarrow q$

2. $\sim p\Rightarrow \sim q:$ invers dari $p\Rightarrow q$

3. $\sim q\Rightarrow \sim p:$ kontraposisi dari $p\Rightarrow q$

Akan diperoleh $p\Rightarrow q$ sama dengan tabel kebenaran  $\sim q\Rightarrow \sim p$ dan tabel kebenaran $q\Rightarrow p$ sama dengan tabel kebenaran $\sim p\Rightarrow \sim q$.

E. EKUIVALENSI

\begin{array}{rcl} p\Rightarrow q &\equiv&\sim p\vee q\\ p\Rightarrow q &\equiv& \sim q \Rightarrow \sim p \end{array}

Read More

GRADIEN DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

A. GRADIEN

🔍 Bentuk umum persamaan garis lurus yaitu:

$y = mx + c$

di mana m = gradien

Jika persamaan garis lurus dalam bentuk $ax + by + c = 0$

Maka mencari gradiennya :

\begin{array}{rcl} ax+by+c &=& 0\\ by &=& -ax-c\\ y &=& -\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} \end{array}

🔍  Gradien garis yang melalui dua titik $P\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan $Q\left ( x_{2},y_{2} \right )$ adalah: 

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

🔍  Hubungan dua garis lurus:

Jika ada dua garis $k:y=m_{1}x+c$ dan $l:y=m_{2}x+c$

$m_{1}=m_{2}$, untuk garis $k\parallel l$.

$m_{1}.m_{2}=-1$, untuk garis $k\perp l$

B. PERSAMAAN GARIS LURUS

 🔍 Persamaan  garis  yang memiliki gradien m dan melalui satu titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah:

\begin{array}{rcl} y-y_{1}=m(x-x_{1}) \end{array}

Contoh:

Persamaan garis dengan gradien $m = -2$ dan melalui titik $A(-3,4)$ adalah…

Jawab:

Titik $A(-3, 4)$, berarti $x_{1}=-3$, $y_{1}=4$, dan bergradien -2 berarti $m=-2$

\begin{array}{rcl}y-y_{1}&=& m\left ( x-x_{1} \right )\\y-4 &=& -2\left ( x+3 \right )\\y-4 &=& -2x-6\\y &=& -2x-6+4\\y &=& -2x-2\end{array}

  🔍 Persamaan  garis  yang melalui dua titik $P\left ( x_{1},y_{1} \right )$ dan $Q\left ( x_{2},y_{2} \right )$ adalah: 

\begin{array}{rcl}\frac{\left ( y-y_{1} \right )}{\left ( y_{2}-y_{1} \right )}=\frac{\left ( x-x_{1} \right )}{\left ( x_{2}-x_{1} \right )}\end{array}

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik $A(3,4)$ dan $B(5,8)$.

Jawab:

\begin{array}{rcl} \frac{\left ( y-y_{1} \right )}{\left ( y_{2}-y_{1} \right )}&=& \frac{\left ( x-x_{1} \right )}{\left ( x_{2}-x_{1} \right )}\\ \frac{\left ( y-4 \right )}{\left ( 8-4 \right )}&=& \frac{\left ( x-3 \right )}{\left ( 5-3 \right )}\\ \frac{\left ( y-4 \right )}{4 }&=& \frac{\left ( x-3 \right )}{2}\\ 2\left ( y-4 \right ) &=& 4\left ( x-3 \right )\\ 2y-8 &=& 4x-12\\ 2y-4x &=& -4\\ y-2x &=& -2 \end{array}

Read More